Der Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor \( \vec{u} \) und einer Ebene mit Normalenvektor \( \vec{n} \) berechnet sich mit:
\[ \sin(\alpha) = \frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{n} \right|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} \]
Wichtig: Hier steht der Sinus (nicht Kosinus), weil der gemessene Winkel gegen die Ebene (nicht gegen den Normalenvektor) gemessen wird. Der Winkel zwischen \( \vec{u} \) und \( \vec{n} \) ist um \( 90^\circ \) grösser als der Winkel zur Ebene.
Gerade mit Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), Ebene \( E: 2 x_1 + x_2 + 2 x_3 = 5 \).
Normalenvektor: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Skalarprodukt: \( \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 + 1 + 2 = 5 \).
Beträge: \( |\vec{u}| = \sqrt{3} \), \( |\vec{n}| = \sqrt{4+1+4} = 3 \).
\( \sin(\alpha) = \tfrac{5}{\sqrt{3} \cdot 3} = \tfrac{5}{3\sqrt{3}} \approx 0{,}962 \). Damit \( \alpha \approx 74{,}2^\circ \).
• Kosinus statt Sinus benutzt – ergibt das Komplement.
• Betrag im Zähler vergessen.
• Normalenvektor mit Richtungsvektor verwechselt.
Abitur-Tipp: Merke: Sinus bei Ebene-Gerade, Kosinus bei Gerade-Gerade. Diese Faustregel ist im Abitur Gold wert.