Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \( \vec{n}_1 \) und \( \vec{n}_2 \):
\[ \cos(\alpha) = \frac{\left| \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 \right|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} \]
Der Betrag sorgt wieder für den spitzen Winkel \( 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ \).
Ebenen: \( E_1: x_1 + x_2 + x_3 = 5 \) und \( E_2: 2 x_1 - x_2 + x_3 = 1 \).
Normalenvektoren: \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Skalarprodukt: \( 2 - 1 + 1 = 2 \).
Beträge: \( |\vec{n}_1| = \sqrt{3} \), \( |\vec{n}_2| = \sqrt{6} \).
\( \cos(\alpha) = \tfrac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \tfrac{2}{\sqrt{18}} = \tfrac{2}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}471 \). Damit \( \alpha \approx 61{,}9^\circ \).
• Sinus statt Kosinus – das ergibt einen falschen Winkel.
• Normalenvektoren falsch aus der Koordinatenform abgelesen.
• Betrag im Zähler vergessen.
Abitur-Tipp: Bei zwei Ebenen gilt: Cosinus der Normalenvektoren. Bei Ebene-Gerade: Sinus mit Richtungsvektor und Normalenvektor.