Der Lotfusspunkt \( F \) eines Punktes \( P \) auf einer Ebene \( E \) ist der Punkt der Ebene, der \( P \) am nächsten liegt. Die Verbindungsstrecke \( PF \) steht senkrecht auf der Ebene und liegt damit in Richtung des Normalenvektors.
Der Lotfusspunkt wird gebraucht für Abstandsberechnungen und für Spiegelungen.
1. Stelle die Lotgerade auf: Aufpunkt \( P \), Richtungsvektor \( \vec{n} \) (Normalenvektor der Ebene).
2. Setze die Lotgerade in die Koordinatenform der Ebene ein.
3. Löse nach dem Parameter \( t \).
4. Setze \( t \) in die Lotgerade ein, um den Lotfusspunkt zu erhalten.
Punkt \( P(1|2|5) \), Ebene \( E: x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 = 6 \).
Normalenvektor: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Lotgerade: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Komponenten: \( x_1 = 1 + t, x_2 = 2 + 2t, x_3 = 5 + 2t \).
Einsetzen: \( (1+t) + 2(2+2t) + 2(5+2t) = 6 \).
\( 1 + t + 4 + 4t + 10 + 4t = 6 \)
\( 15 + 9t = 6 \Rightarrow t = -1 \).
Lotfusspunkt: \( F = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 2 - 2 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \).
Abstand: \( |PF| = |t| \cdot |\vec{n}| = 1 \cdot 3 = 3 \) Einheiten.
• Statt Normalenvektor wird ein Spannvektor verwendet.
• Beim Einsetzen wird vergessen, alle drei Komponenten auszudrücken.
• Vorzeichen beim Auflösen werden falsch übernommen.
Abitur-Tipp: Mache die Probe: Setze \( F \) in die Ebenengleichung ein. Das muß \( d \) ergeben.