Der Abstand eines Punktes \( P(p_1|p_2|p_3) \) von einer Ebene \( E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d \) berechnet sich mit der Hesseschen Normalenform:
\[ d(P, E) = \frac{\left| a p_1 + b p_2 + c p_3 - d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
Im Zähler steht der Wert, den \( P \) in der Ebenengleichung liefert (minus \( d \)), im Nenner die Länge des Normalenvektors. Der Betrag stellt sicher, dass der Abstand positiv ist.
Punkt \( P(2|3|1) \), Ebene \( E: 2 x_1 - x_2 + 2 x_3 = 4 \).
Zähler: \( 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 - 4 = 4 - 3 + 2 - 4 = -1 \). Betrag: \( 1 \).
Nenner: \( \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \).
Abstand: \( d(P, E) = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}33 \) Einheiten.
Die Hessesche Normalenform liefert nur den Abstand. Wer zusätzlich den Lotfusspunkt braucht (z. B. für Spiegelungen), nutzt das Lotfusspunktverfahren: Lotgerade durch \( P \) mit Richtung \( \vec{n} \), Schnitt mit \( E \), Abstand = \( |t| \cdot |\vec{n}| \).
\( P(1|1|1) \), \( E: x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 = 9 \).
Zähler: \( |1 + 2 + 2 - 9| = |-4| = 4 \).
Nenner: \( \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \).
Abstand: \( \tfrac{4}{3} \approx 1{,}33 \).
• \( d \) im Zähler vergessen.
• Betrag im Zähler vergessen – ergibt vorzeichenbehafteten Abstand.
• Nenner falsch berechnet (Wurzel fehlt).
Zusammenfassung:
• Hessesche Normalenform: \( d(P,E) = \tfrac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
• Funktioniert nur, wenn \( E \) in Koordinatenform vorliegt
• Bei Bedarf erst Parameterform in Koordinatenform umwandeln
• Alternative: Lotfusspunkt-Verfahren liefert Abstand und Punkt
Abitur-Tipp: Notiere die Formel als erstes hin, dann die Werte einsetzen. So bekommt der Korrektor sofort den Punkt für die korrekte Methode.