Eine Münze wird zehnmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, mindestens einmal Kopf zu werfen?
Gegenereignis: „Niemals Kopf“, also zehnmal Zahl. \( P(\overline{A}) = \left( \tfrac{1}{2} \right)^{10} = \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}00098 \).
\( P(\text{mindestens 1 Kopf}) = 1 - \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}9990 \), also rund 99,9 Prozent.
Wie oft muß man „6 aus 49“ spielen, um mit mindestens 50 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens einmal sechs Richtige zu haben?
\( P(\text{6 Richtige}) = \tfrac{1}{\binom{49}{6}} = \tfrac{1}{13983816} \).
Sei \( n \) die Anzahl der Spiele. Bedingung: \( 1 - (1 - p)^n \geq 0{,}5 \) mit \( p = \tfrac{1}{13983816} \).
\( (1 - p)^n \leq 0{,}5 \Rightarrow n \cdot \ln(1 - p) \leq \ln(0{,}5) \Rightarrow n \geq \tfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(1-p)} \approx 9{,}69 \cdot 10^6 \).
Man müsste also etwa 9,7 Millionen mal spielen.
Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe gibt es vier Antwortmöglichkeiten, wovon eine richtig ist. Es werden 8 Fragen gestellt, jedes Mal wird zufällig geraten. Wie wahrscheinlich ist es, mindestens eine Frage richtig zu beantworten?
Pro Frage: \( P(\text{falsch}) = \tfrac{3}{4} \).
Bei 8 Fragen alle falsch: \( \left( \tfrac{3}{4} \right)^8 \approx 0{,}1001 \).
\( P(\text{mindestens 1 richtig}) = 1 - 0{,}1001 \approx 0{,}8999 \), also rund 90 Prozent.
1. Identifiziere die Einzelwahrscheinlichkeit \( p \) und die Anzahl \( n \) der Versuche.
2. Bestimme das Gegenereignis „niemals Erfolg“ mit Wahrscheinlichkeit \( (1-p)^n \).
3. Berechne \( 1 - (1-p)^n \).
Abitur-Tipp: Wenn nach einer Mindestanzahl gefragt wird („Wie oft muß gewürfelt werden &?“), stelle die Ungleichung \( 1 - (1-p)^n \geq c \) auf und logarithmiere.