Eine Krankheit kommt in der Bevölkerung mit Wahrscheinlichkeit \( P(K) = 0{,}02 \) vor. Ein Test erkennt Erkrankte zu 95 Prozent richtig und liefert bei Gesunden zu 90 Prozent ein negatives Ergebnis.
(a) Wie wahrscheinlich ist ein positives Testergebnis?
Bekannt: \( P(K) = 0{,}02 \), \( P(\overline{K}) = 0{,}98 \), \( P(+ \mid K) = 0{,}95 \), \( P(+ \mid \overline{K}) = 0{,}10 \).
Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
\( P(+) = P(K) \cdot P(+ \mid K) + P(\overline{K}) \cdot P(+ \mid \overline{K}) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 + 0{,}98 \cdot 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117 \).
(b) Wie wahrscheinlich ist eine tatsächliche Erkrankung bei positivem Test?
Mit Bayes:
\[ P(K \mid +) = \frac{P(K) \cdot P(+ \mid K)}{P(+)} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162 \]
Also nur etwa 16,2 Prozent! Das überrascht viele – ist aber typisch für seltene Krankheiten.
Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
(a) \( P(\text{beide rot}) = \tfrac{4}{10} \cdot \tfrac{3}{9} = \tfrac{12}{90} = \tfrac{2}{15} \).
(b) \( P(\text{zweite blau} \mid \text{erste rot}) = \tfrac{6}{9} = \tfrac{2}{3} \).
Beachte: Hier ist die Bedingung wichtig – nach der ersten roten Kugel ist die Urne anders zusammengesetzt.
1. Notiere alle bekannten Wahrscheinlichkeiten klar.
2. Zeichne ein Baumdiagramm oder eine Vier-Felder-Tafel.
3. Identifiziere, was gesucht ist (\( P(A \mid B) \) oder \( P(A \cap B) \)).
4. Wende die passende Formel an.
Abitur-Tipp: Wenn aus „Test positiv“ auf „wirklich krank“ geschlossen werden soll, hilft Bayes. Wenn aus „wirklich krank“ auf „Test positiv“ geschlossen wird, ist es eine direkte bedingte Wahrscheinlichkeit. Prüfe immer die Richtung!