Ein Hypothesentest entscheidet anhand einer Stichprobe, ob eine angenommene Wahrscheinlichkeit (Nullhypothese \( H_0 \)) noch plausibel ist. Wird der beobachtete Wert „zu unwahrscheinlich“ unter \( H_0 \), wird die Nullhypothese verworfen.
Schlüsselbegriffe:
• Nullhypothese \( H_0 \): angenommene Wahrscheinlichkeit (z. B. \( p_0 = 0{,}5 \))
• Gegenhypothese \( H_1 \): alternativer Wert (\( p > p_0 \), \( p < p_0 \) oder \( p \neq p_0 \))
• Signifikanzniveau \( \alpha \): maximale Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) fälschlich abzulehnen (Fehler 1. Art)
• Ablehnungsbereich: Werte, bei denen \( H_0 \) verworfen wird
Ein Würfel soll überprüft werden, ob er fair ist (\( p = \tfrac{1}{6} \) für die Sechs). Es wird 120 mal gewürfelt. Wenn die Anzahl der Sechsen zu stark abweicht, wird die Hypothese verworfen. Signifikanzniveau \( \alpha = 5\% \), zweiseitiger Test.
Unter \( H_0 \): \( X \sim B(120; \tfrac{1}{6}) \), \( \mu = 20 \), \( \sigma = \sqrt{120 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6}} = \sqrt{16{,}67} \approx 4{,}08 \).
Bei zweiseitigem Test mit \( \alpha = 5\% \) ist die kritische Grenze etwa \( \mu \pm 1{,}96 \sigma \), also \( 20 \pm 8 = [12; 28] \). Werte ausserhalb dieses Intervalls führen zur Ablehnung.
Ist die beobachtete Anzahl der Sechsen z. B. 30, liegt sie ausserhalb – \( H_0 \) wird verworfen, der Würfel ist mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht fair.
• Fehler 1. Art: \( H_0 \) wird verworfen, obwohl sie wahr ist (Wahrscheinlichkeit \( \alpha \)).
• Fehler 2. Art: \( H_0 \) wird angenommen, obwohl sie falsch ist (Wahrscheinlichkeit \( \beta \)).
Beide Fehler stehen in Konkurrenz: kleineres \( \alpha \) bedeutet meist grösseres \( \beta \).
1. Hypothesen aufstellen (\( H_0 \) und \( H_1 \)).
2. Teststatistik festlegen, meist \( X \sim B(n; p_0) \).
3. Ablehnungsbereich aus \( \alpha \) bestimmen (Tafelwerk oder Sigma-Regel).
4. Beobachtungswert prüfen.
5. Entscheidung formulieren: „\( H_0 \) wird (nicht) verworfen.“
• Hypothesen falsch herum aufgestellt.
• Ein- und zweiseitiger Test verwechselt.
• Ablehnungsbereich nicht klar formuliert.
• Aus „nicht verworfen“ wird fälschlich „\( H_0 \) ist bewiesen“ gefolgert.
Zusammenfassung:
• Nullhypothese \( H_0 \): zu prüfende Annahme
• Ablehnungsbereich \( K \) wird so gewählt, dass \( P(X \in K \mid H_0) \leq \alpha \)
• Wert in \( K \): \( H_0 \) verwerfen
• „Nicht verworfen“ ist nicht dasselbe wie „wahr“
Abitur-Tipp: Formuliere die Entscheidung am Ende immer in Worten und mit Bezug zur Aufgabenstellung – nie nur „\( H_0 \) verworfen“.